09-01三次方程式の解と係数の関係(難易度3)

$x^3+2x^2-3=0$の解を$α、β、γ$であるとき、以下の値を求めよ。
(1)$α^3+β^3+γ^3$
(2)$(α+1)(β+1)(γ+1)$

三次方程式の解と係数の関係を思い出そう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$x^3+2x^2-3=0$の解と係数の関係より
 $α+β+γ=-2、αβ+βγ+γα=0、αβγ=3$

(1)$α^3+β^3+γ^3$
  $=(α+β+γ)(α^2+β^2+γ^2-αβ-βγ-γα)+3αβγ$
  $=-2(α^2+β^2+γ^2-0)+3\cdot3$
  $=-2(α^2+β^2+γ^2)+9$
  $=-2\{(α+β+γ)^2-2(αβ+βγ+γα)\}+9$
  $=-2\{(-2)^2-2\cdot0\}+9$
  $=-8+9$
  $=1$
  
(2)$(α+1)(β+1)(γ+1)$
  $=(αβ+α+β+1)(γ+1)$
  $=αβγ+αγ+βγ+γ+αβ+α+β+1$
  $=αβγ+αβ+βγ+γα+α+β+γ+1$
  $=3+0-2+1$
  $==2$

解説

三次方程式の解と係数の関係から求めましょう。
ただ、忘れてしまった場合でも、諦めずに以下のように因数定理を使って
自力で求めることも可能です。
$(x-α)(x-β)(x-γ)$
 $=\{x^2-(α+β)x+αβ\}(x-γ)$
 $=x^3-(α+β)x^2+αβx-γx^2+γ(α+β)x-αβγ$
 $=x^3-(α+β+γ)x^2+(αβ+βγ+γα)x-αβγ$
(1)$α^3+β^3+γ^3$は、$α、β、γ$を入れ替えても同じになる対称式なので、
因数分解を思い出して、基本対称式で表します。

(1)の別解として、先に次数を減らしてもよいです。
$x^3+2x^2-3=0$の解と係数の関係より
 $α+β+γ=-2、αβ+βγ+γα=0、αβγ=3$
$x^3+2x^2-3=0にα、β、γ$を代入して
 $α^3+2α^2-3=0 よりα^3=-2α^2+3$
 $β^3+2β^2-3=0 よりβ^3=-2β^2+3$
 $γ^3+2γ^2-3=0 よりγ^3=-2γ^2+3$
$α^3+β^3+γ^3$
 $=-2(α^2+β^2+γ^2)+9$
 $=-2\{(α+β+γ)^2-2(αβ+βγ+γα)\}+9$
 $=-2\{(-2)^2-2\cdot0\}+9$
 $=-8+9$
 $=1$

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