08-01三乗根を求める問題(難易度2)

(1)$1$の三乗根$ω$を求めよ
(2)$ω^5+ω^4$の値を求めよ
(3)$\cfrac{1}{ω}+\cfrac{1}{ω^2}+1$の値を求めよ

三乗根$ω$は、$ω^3=1$になります


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













(1)ωは1の三乗根なのでx^3=1の解である。
 $f(x)=x^3-1$とおくと
 $f(1)=0より$
  $f(x)=(x-1)(x^2+x+1)$
 $x=\cfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4}}{2}$
  $=\cfrac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}$
 すなわち
  $ω=1、\cfrac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}$
(2)$ω^5+ω^4$
 $=ω^3\cdotω^2+ω^3\cdotω$
 $=ω^2+ω$
 $=ω^2+ω+1-1$
 $=-1$
(3)$\cfrac{1}{ω}+\cfrac{1}{ω^2}+1$
 $=\cfrac{ω^3}{ω}+\cfrac{ω^3}{ω^2}+1$
 $=ω^2+ω+1$
 $=0$
 

解説

三乗根を使う問題は、よく出る基本問題です。
$ω^3=1、ω^2+ω+1=0$を使い、次数を下げて解くことが多いです。

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