07-02因数定理で解を求める(難易度3)

$x^3+ax^2+(3-a)x-4=0$が二重解をもつとき、定数$a$を求めよ。

まずは、因数定理で一つ目の解を見つけよう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$f(x)=x^3+ax^2+(3-a)x-4$とおくと
$f(1)=1+a+(3-a)-4=0$より
$f(x)=(x-1)\{x^2+(a+1)x+4\}$
[1]$x=1$が二重解のとき
 $x^2+(a+1)x+4=0$の一つの解が$1$のため
 $x=1$を代入して
  $1+(a+1)\cdot1+4=0$
  $a+6=0$
  $a=-6$
 このとき、もう一つの解を$β$とすると、解と係数の関係より
  $β=4$となり、条件を満たしている。
[2]$x^2+(a+1)x+4=0$が重解のとき
 判別式$D=(a+1)^2-4\cdot4=0$
  $a+1=\pm4$
  $a=-5、3$
 $a=-5$のとき、$x^2-4x+4=0$より$x=2$となり、条件を満たしている。
 $a=3$のとき、$x^2+4x+4=0$より$x=-2$となり、条件を満たしている。

[1][2]より
 $a=-6、-5、3$

解説

三次方程式の解は、一般的には3つあります。
しかし、二次式×一次式の形まで因数分解をしないと、解の公式が使えません。
そこで、因数定理を利用し、因数を一つ見つける方針で解いていきます。
その他、$x^3+ax^2+(3-a)x-4$を因数分解するにあたって、
次数の小さい文字に注目するという方法も有効です。
$x^3+ax^2+(3-a)x-4$
$=(x^2-x)a+x^3+3x-4$
$=x(x-1)a+x^3+3x-4$
$=x(x-1)a+(x-1)(x^2+x+4)$
$=(x-1)\{x^2+(a+1)x+4\}$

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