07-01因数定理で解を求める(難易度2)

$x^3+3ax^2+bx-5=0$の一つの解が$x=1+2i$のとき、定数$a、b$を求めよ。
また、その他の解を求めよ。

複素数の方程式は、実部と虚部と整理しよう。
その後、因数定理を使おう。


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$f(x)=x^3+3ax^2+bx-3$とおくと
 因数定理より$f(1+2i)=0$
$f(1+2i)$
 $=(1+2i)^3+3a(1+2i)^2+b(1+2i)-5$
 $=1^3+3\cdot1^2\cdot2i+3\cdot1\cdot(2i)^2+(2i)^3+3a(1^2+2\cdot2i+2^2i^2)+b(1+2i)-5$
 $=1+6i-12-8i+3a(1+4i-4)+b(1+2i)-5$
 $=1-12-9a+b-5+i(6-8+12a+2b)$
 $=-16-9a+b+i(-2+12a+2b)=0$
つまり
 $-16-9a+b=0$・・・①
 $-2+12a+2b$・・・②
②-①×$2$より
 $30+30a=0$
 $a=-1$
①に代入して
 $-16-9\cdot(-1)+b=0$
 $b=7$
つまり、$a=-1、b=7$

$f(x)=x^3-3x^2+7x-3$
$f(1)=1-3+7-3=0$より
 $f(x)=(x-1)(x^2-2x^2+5)$
  $x=1、1+2i、1-2i$
すなわち、その他の解は
 $x=1とx=1-2i$

解説

$a$と$b$がわからないと、解はわからないので、まずは、$a$と$b$を求めます。
その後、三次式を因数分解して解を求めていきます。
解答では、$f(1)=0$になることを利用して因数分解したが、
複素数の解が共役な複素数(虚部の符号が異なる複素数)になることを利用してもよいです。
つまり、$α=1+2i$が解であるなら、$β=1-2i$も解になることを利用し、
$x^2-(α+β)x^2+αβ=x^2-2x^2+5$で因数分解してもよいです。

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