05-01解から二次方程式を求める(難易度2)

$x^2-3x+1=0$の解を$αとβ$とするとき、解$α+β^2、α^2+β$となる二次方程式を一つ答えよ

二次式の解と係数の関係を思い出そう。


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













解と係数の関係より
 $α+β=3、αβ=1$
求める二次方程式を$x^2+px+q=0$とすると解が$α+β^2、α^2+β$となるので
 $(α+β^2)+(α^2+β)=-p、(α+β^2)(α^2+β)=q$
 $p=-(α+β^2+α^2+β)$
  $=-(α+β+α^2+β^2)$
  $=-\{ (α+β)+(α+β)^2-2αβ \}$
  $=-3-3^2+2\cdot1$
  $=-3-9+2$
  $=-10$
 $q=(α+β^2)(α^2+β)$
  $=α^3+αβ+β^2α^2+β^3$
  $=α^3+β^3+αβ+α^2β^2$
  $=(α+β)^3-3αβ(α+β)+αβ+(αβ)^2$
  $=3^3-3\cdot1\cdot3+1+1^2$
  $=27-9+1+1$
  $=20$
すなわち
 $x^2-10x+20=0$

解説

二次方程式$ax^2+bx+c=0$と解$α、β$と係数には以下の関係があります。
 $α+β=-\cfrac{b}{a}、αβ=\cfrac{c}{a}$
(3)(4)は、$αとβ$を入れ替えても同じ式になる対称式です。
対象式は、基本対象式$α+β$と$αβ$で表すことができるので、変形させて計算できるようにします。

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