$x^2-2kx+k=0$の解が異なる$αとα^2$を持つとき、$α$の値を求めよ
二次式の解と係数の関係を思い出そう。
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$x^2-2kx+k=0$の解が異なる$αとα^2$を持つとき、$α$の値を求めよ
解と係数の関係より
$α+α^2=2k$・・・①
$α\cdotα^2=k$・・・②
②×2-①より
$2α^3-α^2-α=0$
$α(2α^2-α-1)=0$
$α(2α+1)(α-1)=0$
つまり
$α=0、α=1、α=-\cfrac{1}{2}$
[1]$α=0$のとき
$α=α^2=0$となり、異なる解とならないため、条件を満たさない
[2]$α=1$のとき
$α=α^2=1$となり、異なる解とならないため、条件を満たさない
[3]$α=-\cfrac{1}{2}$のとき
$α^2=\cfrac{1}{4}$となり、異なる2つの解となる。
②より
$k=α^3=-\cfrac{1}{2^3}=-\cfrac{1}{8}$
[1][2][3]より
$α=-\cfrac{1}{2}$
解と係数の関係より
$α+α^2=2k$・・・①
$α\cdotα^2=k$・・・②
②×2-①より
$2α^3-α^2-α=0$
$α(2α^2-α-1)=0$
$α(2α+1)(α-1)=0$
つまり
$α=0、α=1、α=-\cfrac{1}{2}$
[1]$α=0$のとき
$α=α^2=0$となり、異なる解とならないため、条件を満たさない
[2]$α=1$のとき
$α=α^2=1$となり、異なる解とならないため、条件を満たさない
[3]$α=-\cfrac{1}{2}$のとき
$α^2=\cfrac{1}{4}$となり、異なる2つの解となる。
②より
$k=α^3=-\cfrac{1}{2^3}=-\cfrac{1}{8}$
[1][2][3]より
$α=-\cfrac{1}{2}$
解説
二次方程式$ax^2+bx+c=0$と解$α、β$と係数には以下の関係があります。
$α+β=-\cfrac{b}{a}、αβ=\cfrac{c}{a}$
解と係数の関係より①②の2つの式が得られるので、文字を一つ消すことを考えます。
$k$を消す方が簡単なので、解答のような解き方になります。
$α+α^2=2k$・・・①
$α\cdotα^2=k$・・・②
$α+β=-\cfrac{b}{a}、αβ=\cfrac{c}{a}$
解と係数の関係より①②の2つの式が得られるので、文字を一つ消すことを考えます。
$k$を消す方が簡単なので、解答のような解き方になります。
$α+α^2=2k$・・・①
$α\cdotα^2=k$・・・②