04-02二次方程式の解と係数の関係(難易度2)

$x^2-2kx+k=0$の解が異なる$αとα^2$を持つとき、$α$の値を求めよ

二次式の解と係数の関係を思い出そう。


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$x^2-2kx+k=0$の解が異なる$αとα^2$を持つとき、$α$の値を求めよ
解と係数の関係より
 $α+α^2=2k$・・・①
 $α\cdotα^2=k$・・・②
②×2-①より
 $2α^3-α^2-α=0$
 $α(2α^2-α-1)=0$
 $α(2α+1)(α-1)=0$
つまり
 $α=0、α=1、α=-\cfrac{1}{2}$
[1]$α=0$のとき
 $α=α^2=0$となり、異なる解とならないため、条件を満たさない
[2]$α=1$のとき
 $α=α^2=1$となり、異なる解とならないため、条件を満たさない
[3]$α=-\cfrac{1}{2}$のとき
  $α^2=\cfrac{1}{4}$となり、異なる2つの解となる。
 ②より
  $k=α^3=-\cfrac{1}{2^3}=-\cfrac{1}{8}$
[1][2][3]より
 $α=-\cfrac{1}{2}$

解説

二次方程式$ax^2+bx+c=0$と解$α、β$と係数には以下の関係があります。
 $α+β=-\cfrac{b}{a}、αβ=\cfrac{c}{a}$
解と係数の関係より①②の2つの式が得られるので、文字を一つ消すことを考えます。
$k$を消す方が簡単なので、解答のような解き方になります。
 $α+α^2=2k$・・・①
 $α\cdotα^2=k$・・・②

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