04-01二次方程式の解と係数の関係(難易度1)

$2x^2+2x+1=0$の解を$α$と$β$とするとき、以下の式の値を求めよ
(1)$α+β$ (2)$αβ$ (3)$α^2+β^2$ (4)$α^3+β^3$

二次式の解と係数の関係を思い出そう。


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













(1)$α+β=-\cfrac{2}{2}=-1$
(2)$αβ=\cfrac{1}{2}$
(3)$α^2+β^2$
 $=(α+β)^2-2αβ$
 $=(-1)^2-2\cfrac{1}{2}$
 $=0$
(4)$α^3+β^3$
 $=(α+β)^3-3αβ(α+β)$
 $=(-1)^3-3\cfrac{1}{2}\cdot(-1)$
 $=-1+\cfrac{3}{2}$
 $=\cfrac{1}{2}$

解説

二次方程式$ax^2+bx+c=0$と解$α、β$と係数には以下の関係があります。
 $α+β=-\cfrac{b}{a}、αβ=\cfrac{c}{a}$
(3)(4)は、$αとβ$を入れ替えても同じ式になる対称式です。
対象式は、基本対象式$α+β$と$αβ$で表すことができるので、変形させて計算できるようにします。

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