03-01二次方程式の判別式(難易度1)

$(a+1)x^2+2x+a=0$が虚数解をもつとき、定数$a$の範囲を求めよ

二次方程式の判別式を思い出そう。


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













[1]$a=-1$のとき
 $(a+1)x^2+2x+a=0$は$2x-1=0$となるので
  $x=\cfrac{1}{2}$が解となり虚数解をもたない・・・①
[2]$a\neq-1$のとき
$(a+1)x^2+2x+a=0$が虚数解をもつので
判別式$\cfrac{D}{4}<0$
$\cfrac{D}{4}=1^2-(a+1)a$
 $=-a^2-a+1<0$・・・②
 $a^2+a-1=0$の解が
 $a=\cfrac{-1\pm\sqrt{1^2+4\cdot1\cdot1}}{2}$
  $=\cfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$
より、②の解は
  $a<\cfrac{-1-\sqrt{5}}{2}、\cfrac{-1+\sqrt{5}}{2}<a$・・・③
すなわち①、③より
 $a<\cfrac{-1-\sqrt{5}}{2}、\cfrac{-1+\sqrt{5}}{2}<a$

解説

二次方程式は虚数解を含めると必ず解があります。
実数解のみに絞られるときは、問題文に「実数解を求めよ」という言葉が入ります。
$ax^2+bx+c=0の解がx=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$にある公式を使いましょう。
$b=2b’$の時は、$x=\cfrac{-b’ \pm \sqrt{b’^2-ac}}{a}$で計算すると少し楽になります。

ルートの中が負になった場合、虚数解になります。

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