09-02相加平均、相乗平均の利用(難易度2)

$x>0$のとき、$x+\cfrac{5}{x+3}$の最小値を求めよ

相加平均と相乗平均を思い出そう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













 $x+\cfrac{5}{x+3}=x\color{red}{+3}+\cfrac{5}{x+3}\color{red}{-3}$
$x+3>0、\cfrac{5}{x+3}>0$、相加平均≧相乗平均より
 $x+\cfrac{5}{x+3}-3≧2\sqrt{(x+3)\cdot\cfrac{5}{x+3}}-3$
  $=2\sqrt{5}-3$
すなわち、最小値は
 $2\sqrt{5}-3$

解説

$a+b≧2\sqrt{ab}$となる、相加平均≧相乗平均となることを利用したいが、
普通に当てはめてしまうと$\cfrac{x}{x+3}$となり、$x$が残ってしまいます。
そこで、分母がそろうように$+3$と$-3$をして工夫します。

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