08-01相加平均、相乗平均の利用(難易度1)

$\left( a+\cfrac{2}{a} \right) \left( b+\cfrac{4}{b} \right)$ の最小値を求めよ。
ただし、$a>0、b>0$とする

相加平均と相乗平均を思い出そう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$a>0、\cfrac{2}{a}>0、b>0、\cfrac{4}{b}>0、相加平均≧相乗平均$より

$\left( a+\cfrac{2}{a} \right) \left( b+\cfrac{4}{b} \right)$
 $≧2\sqrt{a \cdot \cfrac{2}{a}} \cdot 2\sqrt{b \cdot \cfrac{4}{b}}$
 $=2\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{4}$
 $=8\sqrt{2}$

解説

$相加平均≧相乗平均$となることを利用します。
$\cfrac{a+b}{2}≧\sqrt{ab}$を変形した、
$a+b≧2\sqrt{ab}$をよく利用します。
$a+b$より$ab$の方が次数が少なくなる場合や、$ab=定数$を利用するときによく使います。
$a>0、b>0$であることが条件となります。
逆に言えば、$a>0、b>0$のときに使う可能性があるということです。

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