07-01平方根の不等式の証明(難易度2)

以下の不等式を証明せよ
(1)$2\sqrt{a}+\sqrt{b}≧\sqrt{4a+b}$
(2)$2\sqrt{a}+\sqrt{b}≦\sqrt{8a+2b}$

平方根のままでは証明できないので外す工夫しましょう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













(1)
$(2\sqrt{a}+\sqrt{b})^2-\sqrt{4a+b}^2$
 $=4a+b+4\sqrt{ab}-(4a+b)$
 $=4\sqrt{ab}≧0$
つまり
 $(2\sqrt{a}+\sqrt{b})^2≧\sqrt{4a+b}^2$
$2\sqrt{a}+\sqrt{b}≧0、\sqrt{4a+b}≧0$より
 $2\sqrt{a}+\sqrt{b}≧\sqrt{4a+b}$

(2)
$\sqrt{8a+2b}^2-(2\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$
 $=8a+2b-(4a+4\sqrt{ab}+b)$
 $=4a-4\sqrt{ab}+b$
 $=(2\sqrt{a}-\sqrt{b})^2≧0$
つまり
 $(2\sqrt{a}+\sqrt{b})^2≦\sqrt{8a+2b}^2$
$2\sqrt{a}+\sqrt{b}≧0、\sqrt{8a+2b}≧0$より
 $2\sqrt{a}+\sqrt{b}≦\sqrt{8a+2b}$

解説

根号のある式での証明では、両辺を2乗すると解ける場合があります。
あくまでも可能性なので、方針の一つとして覚えておきましょう。

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