06-01比例式の値(難易度2)

$\cfrac{b+c+2}{a+1}=\cfrac{c+a+2}{b+1}=\cfrac{a+b+2}{c+1}$のとき、この式の値を求めよ

比例式の証明方法を思い出しましょう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













この式の値を$k$とおくと
 $\cfrac{b+c+2}{a+1}=\cfrac{c+a+2}{b+1}=\cfrac{a+b+2}{c+1}=k$
 $b+c+2=(a+1)k、c+a+2=(b+1)k、a+b+2=(c+1)k$
これらの式の両辺を足して
 $b+c+2+c+a+2+a+b+2=(a+1)k+(b+1)k+(c+1)k$
 $2(a+b+c+3)=k(a+b+c+3)$
[1]$a+b+c=-3$のとき
 $a+1=-(b+c+2)$より
 $\cfrac{b+c+2}{a+1}=-1$
 
[2]$a+b+c\neq -3$のとき
 $k=2$
[1][2]より
 $a+b+c=-3$のとき式の値は$-1$、$a+b+c\neq-3$のとき式の値は$2$

解説

比例式のとき、$\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d}=k$とおくと計算が楽になる場合があります。
また、$a、b、c$を順番に入れ替えても同じになる循環式の証明問題の場合、
$3$つの式を足して、その式を利用して解いていくことがありますが、変形が難しくなる傾向があります。

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