05-01比例式の等式の証明(難易度1)

$\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d}$のとき、$\cfrac{ab}{a^2+b^2}=\cfrac{cd}{c^2+d^2}$が成り立つことを証明せよ

比例式の証明方法を思い出しましょう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d}=k$とおく
$a=bk、c=dk$・・・①
①を代入して
(左辺)
 $=\cfrac{ab}{a^2+b^2}$
 $=\cfrac{b\cdot kb}{(bk)^2+b^2}$
 $=\cfrac{b^2\cdot k}{b^2\cdot (k^2+1)}$
 $=\cfrac{k}{(k^2+1)}$

(右辺)
 $=\cfrac{cd}{c^2+d^2}$
 $=\cfrac{d\cdot kd}{(dk)^2+d^2}$
 $=\cfrac{d^2\cdot k}{d^2\cdot (k^2+1)}$
 $=\cfrac{k}{(k^2+1)}$

左辺と右辺が等しくなるため
 $\cfrac{ab}{a^2+b^2}=\cfrac{cd}{c^2+d^2}$

解説

比例式のとき、$\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d}=k$とおくと計算が楽になる場合があります。

一般的な方法で、文字数を減らして解く方針でも可能ですが、計算量が多くなります。

別解として、文字数を減らす方針、$A÷B=1$で証明する方法で解いてみます。
$a=\cfrac{cb}{d}$・・・①
①を代入して
 $\cfrac{ab}{a^2+b^2}÷\cfrac{cd}{c^2+d^2}$
  $=\cfrac{\cfrac{cb}{d} b}{\cfrac{c^2b^2}{d^2}+b^2} \cdot \cfrac{c^2+d^2}{cd}$
  $=\cfrac{cbd\cdot b}{c^2b^2+b^2d^2} \cdot \cfrac{c^2+d^2}{cd}$
  $=\cfrac{cdb^2}{b^2(c^2+d^2)} \cdot \cfrac{c^2+d^2}{cd}$
  $=1$
左辺÷右辺$=1$となるため
 $\cfrac{ab}{a^2+b^2}=\cfrac{cd}{c^2+d^2}$

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