04-02多項式の等式の証明(難易度2)

$a+b+c=0$のとき、$a^3+b^3+c^3=3abc$が成り立つことを証明せよ

文字を減らして考えましょう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$a+b+c=0$より、$c=-(a+b)$・・・①
①を代入して
 $a^3+b^3+c^3-3abc$
  $=a^3+b^3-(a+b)^3+3ab(a+b)$
  $=a^3+b^3-(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)+3a^2b+3ab^2$
  $=\color{red}{a^3}+\color{blue}{b^3}-\color{red}{a^3}-\color{green}{3a^2b}-3ab^2-\color{blue}{b^3}+\color{green}{3a^2b}+3ab^2$
  $=0$
つまり
 $a^3+b^3+c^3=3abc$

解説

一般的には、文字数を減らして解く方針で計算していくと
等式を証明しやすくなります。

別解として、因数分解をして解く方法でもよいです。
 $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^+c^2-ab-bc-ca)$
$a+b=c=0$より
 $a^3+b^3+c^3-3abc=0$

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