04-01多項式の等式の証明(難易度1)

以下の等式が成り立つことを証明せよ
$a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)$

等式の証明の方法を思い出そう。


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$a^4-b^4-(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)$
 $=a^4-b^4-(a^4+a^3b+a^3b^2+ab^3-a^3b-a^2b^2-ab^3-b^4)$
 $=a^4-b^4-(a^4+\color{red}{a^3b}+\color{blue}{a^2b^2}+\color{green}{ab^3}-\color{red}{a^3b}-\color{blue}{a^2b^2}-\color{green}{ab^3}-b^4)$
 $=a^4-b^4-\{a^4+b^4\}$
 $=0$
つまり
$a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)$

解説

$A=B$の等式の証明方法はいくつかあるが、よく使うのは$A-B=0$です。
$A$を変形して$B$にする方法もあるが、計算量が少なくなる代わりに変形に手間取るリスクがあるので、
確信があるときだけにしましょう。
その他、$A$と$B$が比例式などのときは、$\cfrac{A}{B}=1$とする方法もあります。

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