02-01分数の多項式の計算(難易度1)

以下の分数式を計算せよ
(1)$\cfrac{x}{x^2-x-2}-\cfrac{1}{x^2-4}$
(2)$\cfrac{2}{x^2+1}+\cfrac{1}{x+1}-\cfrac{1}{x-1}$

(1)分母を因数分解してから通分しましょう
(2)計算のしやすい部分から計算しましょう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













(1)$\cfrac{x}{x^2-x-2}-\cfrac{1}{x^2-4}$
 $=\cfrac{x}{(x+1)(x-2)}-\cfrac{1}{(x+2)(x-2)}$
 $=\cfrac{x(x+2)-(x+1)}{(x+1)(x-2)(x+2)}$
 $=\cfrac{x^2+2x-x-1)}{(x+1)(x-2)(x+2)}$
 $=\cfrac{x^2+x-1)}{(x+1)(x-2)(x+2)}$

(2)$\cfrac{2}{x^2+1}+\cfrac{1}{x+1}-\cfrac{1}{x-1}$
 $=\cfrac{2}{x^2+1}+\cfrac{(x-1)-(x+1)}{(x+1)(x-1)}$
 $=\cfrac{2}{x^2+1}-\cfrac{2}{(x+1)(x-1)}$
 $=\cfrac{2(x+1)(x-1)-2(x^2+1)}{(x^2+1)(x+1)(x-1)}$
 $=\cfrac{2(x^2-1)-2(x^2+1)}{(x^2+1)(x+1)(x-1)}$
 $=-\cfrac{4}{(x^2+1)(x+1)(x-1)}$

解説

(1)通分した後に約分をしないように、因数分解を行い、できるだけ次数で通分します。
 最初に共通の因数を見つけておくことで、分母の次数を最小にすることができます。
(2)計算量が少なくなる順に計算していきます。
 $(x-a)(x+a)=x^2-a^2$を利用すると計算量が少なくなります。
 

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