04-01最小公倍数、最大公倍数で理解しておきたいこと

最大公倍数と最小公倍数で特に理解しておきたいところでは、算出方法とその性質、
約数の個数と和の算出方法、倍数の証明方法を理解して身につける必要があります。

1.最大公約数と最小公倍数の算出方法
 最大公倍数と最小公倍数は、素因数分解をして求めます。
 素因数分解は、素数の掛け算の形で表すことで、筆算で求めると簡単です。
  共通で割れる範囲の積が最大公約数となり、すべての素因数の積が最小公倍数です。
  
  

2.最大公約数と最小公倍数の性質
 $a$と$b$の最大公約数$p$と最小公倍数$q$は以下のように表すことができます。
  $a=pa’$
  $b=pb’$
  $q=pa’b’$
 ここで、$a’とb’$は互いに素です。

3.約数の個数と和の算出方法
 ①約数の個数
  自然数$N$を
   $N=p^a\cdot q^b\cdot r^c$ ・・・ で表すとき
  正の約数の個数は、$(a+1)(b+1)(c+1)$・・・ 個となる
  
 ②約数の和数
  自然数$N$を
   $N=p^a\cdot q^b\cdot r^c\cdot s^d$・・・ で表すとき
  正の約数の和は、
   $(1+p+p^2+・・・+p^a)(1+q+q^2+・・・+q^b)(1+r+r^2+・・・+r^c)$・・・
  
4.倍数の証明方法
 「$n+a$」が$3$の倍数のとき、「$n^3-n+a$」が$9$の倍数になることを証明せよ
 「$n+a$」を$5$で割った余りが1になるとき、「$n^3-n+a$」を$5$で割った余りが$2$になることを証明せよ
 のような証明問題のとき、以下の$2$つの方法でできる。
 どちらでも証明できるが、①では式の変形に工夫が必要となり
 ②では、法が大きくなる場合、証明に工夫が必要になる

  ①$n=ak、ak\pm+1、ak\pm+2$・・・とおく方法
   証明する倍数を意識しながら変形していくのがコツです。
  ②合同式を使った方法
   法の数が大きい場合は、素因数分解し、何回かに分けて証明が良いです。
   例えば$35$の倍数になるという証明では、$5$の倍数になる証明と
   $7$の倍数になる証明をするなどの工夫が必要です。
   力技で$0~34$を計算してもよいが、時間が足りなくなります。

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