03-02平面図形の円で理解しておきたいこと

円の性質において特に理解しておきたいところでは、内接する四角形と
円と直線の性質、円と円の性質をしっかり理解して身につける必要があります。

1.内接する四角形
 内接する四角形には以下の性質がある
 ①四角形の対角の和が$180°$になる
  円の円周角の2倍が中心角になることよりわかります。
  中心角の和が$360°$なので、円周角の和はその半分の$180°$になる
 ②四角形の内角は、その対角の外角と等しい
  であるので、当然といえば当然です。
  内角と外角の和は$180°$であり、四角形の対角の和が$180°$のため、当然といえば当然です。
  

2.円と直線の性質
 ①接弦定理
  接線と弦で作る角は、円周角と等しい
  $∠BCA=∠BAT$
  逆に、$∠BCA=∠BAT$が成り立つとき、$AT$が円の接線になる。
  ※気づきにくいので注意
  

 ②方べきの定理
  $AP\cdot PB=PC\cdot PD$が成り立つ
  接線の場合は、$AP\cdot PB=PT^2$が成り立つ
  逆に、$AP\cdot PB=PT^2$が成り立つとき、$PT$が円の接線になる。
  
 
 ③円の外部の点と$2$本接線は長さが等しい
  

3.円と円の性質
 円と円の性質を問う問題では、共通弦、中心線、共通接線を補助線として考えると解答が見えてきます。
 以下に、よく使う性質を挙げておきます。
 ①円と円が離れている場合
  ・共通接線は$4$本引けます。
  ・中心点と接点を結ぶ直線が、接線と垂直になることを利用することが多いです。
  

 ②円と円が接している場合
  ・共通接線の交点が、その他の接点と同じ距離になることを利用することが多いです。
  ・共通接線の交点から$3$点が同じ距離になるので、交点を中心とした円の円周上になる
   という性質を使うことが多いです。
  ・接点と接点を結ぶ直線が、その円の直径になるという性質を使うことがあります。
  

 ③円と円が$2$点で交わる場合
  ・交わる$2$点を結んだ直線と、中心を結んだ直線が垂直二等分線になる性質を使うことが多いです。
  

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