03-01平面図形の三角形で理解しておきたいこと

三角形において特に理解しておきたいところでは、三角形の辺の比と
五心の性質、チェバとメネラウスの定理をしっかり理解して身につける必要があります。

1.三角形の辺の比
 ①内角の二等分線の比
  $AB:AC=BP:PC$
   
  
 ②外角の二等分線の比
  $AB:AC=BP:PC$
  
  
 内角や外角から二等分線が出ていれば、この比率を疑いましょう。
 内角はすぐにわかるが、外角は見落としがちになるので、気を付けよう。
 外角の二等分線の比を忘れてしまったら、二等分線が出ているところを中心にして
 内角の二等分線の比から$PとQ$を入れ替えるだけだと、思い出しましょう。
 
2.三角形の五心の性質
 五心の性質は、まず、定義をしっかり覚えましょう。
 その他の性質は、円の性質と合わせて覚えると理解しやすいです。
 特に◎は、直接的でないので、気づきにくいです。
 ①外心
  三角形の外接円の中心を外心という
  ・三角形の頂点は円周上にあるので、外心と各頂点の距離は等しい
  ・三角形の辺の垂直二等分線は、外心を通る
   (円の弦の垂直二等分線は、中心を通る)
  ◎$∠AOBは、∠ACB$の$2$倍になる
   ($ABC$は円周上なので、辺$AB$の円周角が$∠ACB$、中心角が$∠AOB$となり、
    中心角は円周角の$2$倍になる)
  

 ②内心
  三角形の内接円の中心を内心という
  ・三角形の辺と、内心から辺の接点までの直線は、垂直になる
   (円の接線と中心から接点までの直線は、垂直になる)
  ・三角形の頂点から内心円の接点までの距離は等しい
   (円の外部の点から引ける接線は2本あり、接点までの距離は同じになる)
  ・三角形の内角の二等分線は、内心を通る
  ◎内角の二等分線なので、比にもなる。 
  

 ③重心
  三角形の中線が交わる点を重心という
  ・重点は中線を$2:1$で内分する
  ◎中線定理より、$AB^2+AC^2=2(AP^2+BP^2)$
  

 ④垂心
  三角形のおのおのの頂点から対辺に下した垂線が交わる点を垂心という
  

 ⑤傍心
  「三角形の外側にあり1辺と他の2辺の延長線に接する円の中心を傍心という」と言われるが、
  高校では、「三角形の内角の二等分線とその他の頂点の外角の二等分線が交わる点を傍心という」
  と理解しましょう。
  内心が外に出ると傍心になるだけなので、同じような性質となります。
  忘れたら内心を思い出しましょう
  ・三角形の辺の延長と、傍心から接点までの直線は、垂直になる
   (円の接線と中心から接点までの直線は、垂直になる)
  ・三角形の頂点から傍心円の接点までの距離は等しい
   (円の外部の点から引ける接線は$2$本あり、接点までの距離は同じになる)
  ・三角形の内角の二等分線は、傍心を通る(定義より)
  ◎内角の二等分線なので、比にもなる。 
  ・三角形のその他の外角の二等分線は、傍心を通る(定義より)
  ◎外角の二等分線なので、比にもなる。 
  

3.チェバの定理・メネラウスの定理
 チェバの定理もメネラウスの定理も以下の式になります。
  $\cfrac{CF}{FA}\cdot \cfrac{AD}{DB}\cdot \cfrac{BE}{EC}=1$
 チェバの定理の形から点Eを外に持っていくとメネラウスの定理の形になります。
 メネラウスの定理はキツネの形を目印にして探します。
 覚え方は、矢印のように一周回ってくるように覚えましょう。
  
 
 メネラウスの定理の場合は、同じ形でも2通りのたどり方があるので、始点を工夫して覚えます。
 下図では、$DG:GE$の比率に注目したいときは、外に出ているEと三角形$ABC$上の点$D$に注目し、
 $D$を始点として一周回ってくるようにすると、$AG:GC$の比率に注目したいときと区別しやすいです。

4.三角形の辺と角の性質
 (1)辺の大小関係
  三角形が成り立つ条件は以下です。$a、b、c$がどれが一番長いかは考慮は不要です。
   $|b-c|<a<b+c$
 (2)角の大小関係
   $a>b$ であれば $∠A>∠B$ が成り立つ

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