02-01確率で理解しておきたいこと

確率において特に理解しておきたいところでは、確率の基本的な算出方法と
反復試行の確率、条件付確率をしっかり理解して身につける必要があります。

1.確率の算出
 $A$が起こる確率は、以下で求めます。
  $P(A)=\cfrac{事象Aが起こる場合の数}{起こりうるすべての場合の数}$
 場合の数を二種類出すことになるので、総じて難しくなります。
 しかし、場合の数を理解できていれば、難しくないとも言えます。
 
2.確率の性質
 ①積事象(共通部分の事象)、和事象
  事象$A$と事象$B$がともに起こることを$P(A∩B)$と表す。
  事象$A$と事象$B$のどちらかが起こることを$P(A∪B)$と表す。
   $P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)$
  $A$と$B$が排反事象(同時に起こらない)場合は以下になる。
   $P(A∪B)=P(A)+P(B)$ $P(A∩B)=0のため$
 ②余事象
  事象Aに対して、Aが起こらないこと事象を余事象といい、\overline{A}と表す。
   $P(\overline{A})=1-P(A)$
 
 この性質だけを見ても何に使うかよくわからないと思います。
 確率は場合の数を求めて算出するので、求めにくいときに利用します。
 よく使うのは、「少なくとも$1$個」のような確率を余事象から求めることに使います。

 例えば、袋の中に赤玉$5$個白玉$5$個はいっており、袋から$3$個取り出すとき
 少なくとも$1$個以上赤玉になる確率$P(D)$を求めよと問われた場合、
 素直に解くと、赤玉$1$個となる確率$P(A)$、赤玉$2$個となる確率$P(B)$、赤玉$3$個となる確率$P(C)$から
  $P(D)=P(A)+P(B)+P(C)$を計算して解答になります。
 しかし、少し工夫して、余事象となる赤玉$0$個となる確率$P(\overline{D})$を求め
  $P(D)=1-P(\overline{D})$を計算しても解答になります。
 つまり、余事象から計算した方が、かなり効率的に解答に導けます。
 
 
3.反復試行の確率
 $1$回の試行で事象$A$が起こる確率を$p$とするとき、この試行を$n$回繰り返し、
 ちょうど事象$A$が$r$回起こる確率は
  ${}_{n}C_{r}p^r(1-p)^r$

4.条件付確率
 事象$A$が起こったとき、事象$B$が起こる確率は
  $P_{A}(B)=\cfrac{P(A∩B)}{P(A)}$
 これを変形させて
  $P(A∩B)=P(A)\times P_{A}(B)$
  
 条件付確率の問題は、問題文で惑わしてくることがあります。
 「事象$A$であるとき、事象$B$であった確率はを求めよ」
 と問われると、過去形と現在形が反対になっているので、
 条件となっているのが事象$A$ではなく、事象$B$と感じてしまう場合があるので注意しましょう。

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

フォローする