15-01n進法の桁数(難易度2)

(1)$2$進数で$10$桁で表せる数字は、何個あるか求めよ
(2)$2$進数で$20$桁で表せる数字は、$8$進数では何桁になるか求めよ

累乗で表しましょう。

(1)$2$進数で$10$桁で表せる数字$N$は
 $2^9 \leqq N < 2^{10}$
 のため、その個数は、$(2^{10}-2^9)$個である。
 $2^{10}-2^9=1024-512$
 $=512$個
 
(2)$2$進数で$20$桁で表せる数字$N$は
 $2^{19} \leqq N < 2^{20}$
 $2^{19}=2\cdot(2^3)^6=2\cdot8^6$
 $2^{20}=2^2\cdot(2^3)^6=4\cdot8^6$
 $8^{6}\leqq 2\cdot8^6 \leqq N < 4\cdot8^6 < 8^{7}$
つまり、$8$進数で$7$桁


$p$進数で$n$桁で表せる数字$N$は、以下で表すことができます。
 $p^{n-1} \leqq N < p^{n}$
たとえば、$10$進数で$3$桁で表される数字は、$100~999$なので
 $10^{2} \leqq N < 10^{3}$ になります。
$n-1、n$の関係がわからなくなったら、$10$進数で考えると、一般的な式を思い出せます。

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