11-02一次方程式の整数解を求める(難易度2)

方程式1$9x-24y=4$について、$x$と$y$の整数解をすべて求めよ

$19x-24y=1$の解き方に工夫を入れよう

$a=24、b=19$とおくと
 $24=19\times1+5$ から $5=a-b$
 $19=5\times3+4$ から $4=b-3(a-b)=-3a+4b$
 $5=4\times1+1$ から $1=a-b-(-3a+4b)=4a-5b$
つまり、$19\cdot(-5)-24\cdot(-4)=1$
 両辺を$4$倍して
$19\cdot(-20)-24\cdot(-16)=4$
与式より
 $19(x+20)-24(y+16)=0$
 $19(x+20)=24(y+16)$
 $19$と$24$は互いに素であるため、$x+20$は$24$の倍数、$y+16$は$19$の倍数である。
つまり、$x+20=24k$、$y+16=19k(kは整数)$と表すことができるため
 $x=24k-20、y=19k-16(kは整数)$

 


$19x-24y=1$については、$x$と$y$の代表解を互除法で見つけることができます。
その計算過程で、両辺を$4$倍することで、$ac+by=4$の代表解を見つけます。
代表解がわかれば、あとは、整数を使って一般解を求めます。

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