09-01合同式を使った倍数の証明(難易度2)

$n$を自然数とするとき、$n^5-n$は$5$の倍数であることを合同式の考えを使って証明せよ

$n^5-n$を法を$5$として計算してみよう

$n=0、1、2、3、4$について$n^2-n(\bmod5)$を計算してみると
下表のようになり$n^2-n≡0(\bmod5)$となる
つまり、$n$を自然数とするとき、$n^2-n$は$5$倍数である。


$a$の倍数であることを証明する場合、$a$を法として合同式をつかって証明する方法もあります。
その他、$n=ak、ak+1、ak+2・・・ak+a-1$とおいて、それぞれ計算して証明する方法もあります。
ただ、次数が大きくなると計算が大変になるので、合同式で証明する方が一般的に楽になります。

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