06-01互いに素の証明(難易度2)

任意の自然数を$n、m$が互いに素であるとき、$m+2n$と$3m+5n$が互いに素であることを証明せよ

互いに素であることを変数で表すのは難しいです。

$m+2n$と$3m+5n$が互いに素でないと仮定する。
互いに素でないため、$k$を$2$以上の整数として以下のように表すことができる。
 $m+2n=kp$   ・・・①
 $3m+5n=kq$   ・・・②

①$\times3$-②より
 $n=3kp-kq=k(3p-q)$
②$\times2$-①$\times5$より
 $m=2kq-5kp=k(2q-5k)$

$n$と$m$に共通の約数$k(k \neq 1)$があるため、互いに素でない
これは、仮定に矛盾するため、
任意の自然数を$n、m$が互いに素であるとき、$m+2n$と$3m+5n$が互いに素である


互いに素であることを変数で表すのは難しく、直接の証明が難しいので
背理法で証明します。

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