05-02連続した整数の倍数(難易度2)

整数$n$について、以下を証明せよ。
また、証明において連続する$2$つの数字は$2$の倍数であることを使ってよい。
 (1)$n(n+1)(n+2)$が$6$の倍数であることを証明せよ
 (2)$n(n-1)(2n-1)$が$6$の倍数であることを証明せよ

$n$をどうおくか考えよう

(1)$n(n+1)$は、連続した数となるため、$2$の倍数である。
 $n=3k-1,3k,3k+1$($k$は整数とする)とおくと、すべての整数を表すことができる。
 [1]$3k-1$のとき
  $n(n+1)(n+2)=(3k-1)(3k-1+1)(3k-1+2)$
   $=(3k-1)3k(k+1)$
   $=3\cdot k(3k-1)(k+1)$
  つまり、$3$の倍数である
 [2]$3k$のとき
  $n(n+1)(n+2)=3\cdot k(3k+1)(3k+2)$
  つまり、$3$の倍数である

 [3]$3k+1$のとき
  $n(n+1)(n+2)=(3k+1)(3k+1+1)(3k+1+2)$
   $=(3k+1)(3k+2)3(k+1)$
   $=3\cdot (3k+1)(3k+2)(k+1)$
  つまり、$3$の倍数である
 [1][2][3]より$n(n+1)(n+2)$が$3$の倍数であり、①より$2$の倍数であるため
 $6$の倍数である。

(2)$n(n-1)$は、連続した数となるため、$2$の倍数である。
 $n=3k-1,3k,3k+1$($k$は整数とする)とおくと、すべての整数を表すことができる。
 [1]$3k-1$のとき
  $n(n-1)(2n-1)=(3k-1)(3k-1-1)(6k-2-1)$
   $=(3k-1)(3k-2)3(2k-1)$
   $=3\cdot(3k-1)(3k-2)(2k-1)$
  つまり、$3$の倍数である
 [2]$3k$のとき
  $n(n-1)(2n-1)=3\cdot k(3k-1)(6k-1)$
  つまり、$3$の倍数である
 [3]$3k+1$のとき
  $n(n-1)(2n-1)=(3k+1)(3k+1-1)(6k+2-1)$
   $=(3k+1)3k(6k+1)$
   $=3\cdot k(3k+1)(6k+1)$
  つまり、$3$の倍数である
 [1][2][3]より$n(n+1)(n+2)$が$3$の倍数であり、①より$2$の倍数であるため
 $6$の倍数である。


$6$の倍数であることを証明するので、以下のようにおいて、
$6$つの場合について証明してもよいが、$6=2\times3$であること考慮して、
$2$の倍数と$3$の倍数であると証明する方が早い場合があります。
 $n=6k-2、6k-1、6k、6k+1、6k+2、6k+3$

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

フォローする