03-02約数の個数(難易度2)

$400$以下の自然数のうち、正の約数が$10$個になる数の個数を求めよ

約数の数はどのようにあらわされるか考えよう

$10$は$1\times10$または$2\times5$のため
約数が$10$個の自然数は、$a、b$を異なる素数すると、$a^9$、$a^4b^1$と表すことができる

[1]$a^9$のとき
 $a^9$は$a=2$のとき最小なため$2^9=512$が最小値
 つまり、該当する自然数は存在しない   ・・・①
[2]$a^4b^1$のとき
 $a=2$のとき
  $2^4\cdot b \leqq 400$
  $16 \cdot b \leqq 400$
  $b \leqq 25$
  $b$は$a$と異なる素数なので、$b=3、5、7、11、13、17、19$
  つまり、該当する自然数は$7$個   ・・・②
 $a=3$のとき
  $3^4\cdot b \leqq 400$
  $81 \cdot b \leqq 400$
  $b \leqq 4\cfrac{76}{400}$
  $b$は$a$と異なる素数なので、$b=2$
  つまり、該当する自然数は$1$個   ・・・③
  
 $a=5$以上のとき$5^4=625$のため
  $a^4b^1\leqq 400$を満たす$b$は存在しない   ・・・④
①②③④より
 求める個数は$7+1=8$個


約数の個数は、素因数分解した結果を指数形式で表記すると簡単に求めることができます。
$N=a^p\cdot b^q\cdot c^r$の場合
約数は、$p$を$0~p$の中から一つの数字を選び、$q$を$0~q$の中から一つの数字を選び、
$r$を$0~r$の中から一つの数字を選ぶことになるので、
約数の個数は、$(p+1)(q+1)(r+1)$個になり、数字の積になります。
この問題では、これらを逆に考えていくことで解きます。
①その約数の個数が$10$個になるので、どんな数字の積になるかを考え
②その時の数字は何になるか考えます。

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