02-01平方根が整数になる数を求める(難易度2)

$\sqrt{n^2+20}$が整数となるような自然数$n$を求めよ

$\sqrt{a}$を二乗すると整数になります。

$\sqrt{n^2+20}=m$とおくと

両辺を二乗すると、
 $n^2+20=m^2$
 $20=m^2-n^2$
 $20=(m+n)(m-n)$
「$m+n$」と「$m-n$」は整数、$n>0$のため、$m+n>m-n$となるので
 $(m-n、m+n)$の組み合わせは$(1、20)、(2、10)、(4、5)$の$3$通りである
[1]$(m-n、m+n)=(1、20)$のとき
 $m-n=1 m+n=20$
 $m=\cfrac{21}{2}、n=\cfrac{19}{2}$となり不適 ・・・①

[2]$(m-n、m+n)=(2、10)$のとき
 $m-n=2 m+n=10$
 $m=6、n=4$・・・②
[3]$(m-n、m+n)=(4、5)$のとき
 $m-n=4 m+n=5$
 $m=\cfrac{9}{2}、n=\cfrac{1}{2}$ となり不適 ・・・③

①②③より
 $n=4$


$\sqrt{}$を整数にするので、二乗して考えるところはすぐに思いついたと思います。
$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$に変形するところにたどり着けるかがカギになります。
整数の問題では、数字(整数)部分と変数に分けて、変数部分を考えると解けることがあります。

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