01-04nの倍数の証明(難易度3)

自然数$n$において、$n+3$が$5$の倍数、$n+5$が$3$の倍数であるとき、$n+8$が$15$の倍数であることを証明せよ

$n$の倍数を変数で表そう

$n+3$が$5$の倍数、$n+5$が$3$の倍数となるので、$p、q$を整数とすると
 $n+3=5p$   ・・・①
 $n+5=3q$   ・・・②
となる。
①、②より$n$を消して
 $5p-3=3q-5$
 $5(p+1)=3(q+1)$
$p+1、q+1$は整数であり、$5$と$3$は互いに素のため$p+1$は$3$の倍数、$q+1$は$5$の倍数となる。
$m$を整数とすると
 $p+1=3m$   ・・・③
となる
①、②の和より
 $n+8=5p+5$
  $=5(p+1)$
  $=5\cdot3ml$
  $=15m$
つまり、$n+8$は$15$の倍数となる

$n$の倍数に関する証明をする場合、$nk(kは整数)$とおくと解ける場合があります。
$n+8$が$15$の倍数となることを証明するため、$n+8=3\cdot5\cdot m$となるように変形を考えていきます。
①の$n+3=5p$から$p$が何らかの形で$3$の倍数に関与していれば、
$15$の倍数に導けるだろうと考えることができれば、解けると思います。

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