01-03倍数11の証明(難易度2)

$5$桁の整数$N$を$abcba$と表したとき、$2a-2b+c$が$11$の倍数のとき、$N$も$11$の倍数であることを証明せよ
(例)$51315$のとき $2\times5-2\times1+3=11、51315=4665\times11$となり$11$の倍数となる

$5$桁の整数を変数で表そう

$N$は$5$桁の正の整数のため$N=10000a+1000b+100c+10b+a$と表す。
$2a-2b+c$が$11$の倍数となるため、$k$を整数とすると
 $2a-2b+c=11k$となる   ・・・①

$N=10000a+1000b+100c+10b+a$
 $=10001a+1010b+100c$
 $=(909\times11+2)a+(92\times11-2)b+(9\times11+1)c$
 $=11(909a+92b+9c)+2a-2b+c$
 $=11(909a+92b+9c)+11k$   (①より)
 $=11(909a+92b+9c+k)$
  
つまり、$N$は$11$の倍数となる


証明の問題でよく使用する手法を使います。
$n$桁の整数に関する証明をする場合、$10^n a+10^{(n-1)} b+10^{(n-2)} c+・・・+z$とおくと、解ける場合があります。
また、$n$の倍数に関する証明をする場合、$nk(kは整数)$とおくと解ける場合があります。

あとは、$11$の倍数であることを証明するので、$11$の倍数になる部分とその差に分けて、証明していきます。

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