01-02倍数7の証明(難易度2)

$6$桁の正の整数$N$において、上位$3$桁の数と下位$3$桁の数の差が$7$で割り切れるとき、
$N$も$7$で割り切れることを証明せよ
(例)$973112$のとき$973-112=861=123 \times 7、953112=139016\times7$となり$7$で割り切れる

$6$桁の整数を変数で表そう

$N$は$6$桁の正の整数のため$N=10000a+10000b+1000c+100d+10e+f$と表す。
上位$3$桁の数と下位$3$桁の数の差が$7$で割り切れるため、$k$を整数とすると
 $100a+10b+c-(100d+10e+f)=7k$となる   ・・・①

$N=1000(100a+10b+c)+(100d+10e+f)$
 $=(143\cdot7-1)(100a+10b+c)+(100d+10e+f)$
 $=143\cdot7(100a+10b+c)-(100a+10b+c)+(100d+10e+f)$
 $=143\cdot7(100a+10b+c)-7k$   (①より)
 $7\cdot\{143(100a+10b+c)-k\}$

つまり、$N$は$7$の倍数となる


証明の問題でよく使用する手法を使います。
$n$桁の整数に関する証明をする場合、$10^n a+10^{(n-1)} b+10^{(n-2)} c+・・・+z$とおくと、解ける場合があります。
また、$n$の倍数に関する証明をする場合、$nk(kは整数)$とおくと解ける場合があります。

あとは、$7$の倍数であることを証明するので、$7$の倍数になる部分とその差に分けて、証明していきます。

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