01-01倍数9の証明(難易度1)

$3$桁の正の整数$N$において、各位の数の和が$9$の倍数となるとき、$N$も$9$の倍数となることを証明せよ

$3$桁の整数を変数で表そう

Nは$3$桁の正の整数のため$N=100a+10b+c$と表す。
各位の数の和が$9$の倍数なので、$k$を整数とすると
$a+b+c=9k$となる   ・・・①

$N=100a+10b+c$
 $=(99+1)a+(9+1)b+c$
 $=99a+9b+a+b+c$
 $=99a+9b+9k$   (①より)
 $=9(11a+b+k)$

つまり、$N$は$9$の倍数となる


証明の問題でよく使用する手法を使います。
$n$桁の整数に関する証明をする場合、$10^n a+10^{(n-1)} b+10^{(n-2)} c+・・・+z$とおくと、解ける場合があります。
また、$n$の倍数に関する証明をする場合、$nk(kは整数)$とおくと解ける場合があります。

あとは、$9$の倍数であることを証明するので、$9$の倍数になる部分とその差に分けて、証明していきます。

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