10-01集合と理論で理解しておきたいこと

集合と理論において特に理解しておきたいところでは、集合の表現方法とその意味、
命題真偽と必要十分条件、背理法の証明を理解して身につける必要があります。

1.集合の表現方法
 (1)集合の表し方
  集合は以下の2つの表し方がある。筆記問題では書けないといけないので覚えましょう。
  ①要素を並べる方法
   $\{\}$の中に要素を列挙して集合$A$を表します。
    $A=\{1、2、3、4、5、6\}$
  ②代表と条件を指定する方法
   $A=\{代表 | 代表を満たす条件\}$と表現します。
   (例)奇数を$A$の要素とする場合
    $A=\{n|nは奇数\}$
    $A=\{2n+1|nは整数\}$
 (2)集合に関する記号
   ①要素である「$ \in $」
    「$x \in A$」は、「$x$は$A$の要素である」
   ②部分集合「$ \subset $」
    「$A \subset B」$は、「$A$は$B$の部分集合である」
    「$ \in $」は要素、「$ \subset $」は集合であるという違いを理解しておきましょう。
   ③空集合「$\emptyset$」
   ④共通部分「$∩$」
   ⑤和集合「$∪$」
   ⑥補集合「$\overline{A}$」

2.ド・モルガンの法則
   $\overline{A∩B}=\overline{A}∪\overline{B}$
   $\overline{A∪B}=\overline{A}∩\overline{B}$
   「$A$かつ$B$」の補集合は「$A$でない、または、$B$ でない」になります。
   「$A$または$B$」の補集合は「$A$でない、かつ、$B$ でない」になります。
   
3.命題真偽
 (1)必要十分条件
  「$p$ならば$q$である」 を「$p$ →$q$」で表したとき
  「$p$ → $q$が真のとき」は、「$p$は$q$であるための十分条件」という
  「$p$ ← $q$が真のとき」は、「$p$は$q$であるための必要条件」という
  「$p$←→$q$が真のとき」は、「$p$は$q$であるための必要十分条件」という
   ※これは定義なので、しっかりと覚えましょう
   
   
 (2)逆、裏、対偶
  命題を「$p$ならば$q$である」($p$ → $q$)としたとき
  「$q$ならば$p$である」($q$ → $p$)を「逆」という
  「$\overline{p}$ならば$\overline{q}$である」($\overline{p}$ →$\overline{q}$)を「裏」という
  「$\overline{q}$ならば$\overline{p}$である」($\overline{q}$ →$\overline{p}$)を「対偶」という
   ※「逆」と「裏」を間違えやすいので、しっかり覚えましょう
 (3)証明
  ①真偽の証明
   真の証明は、普通に解くしかないが、
   偽の証明は、真っ向から勝負するのではなく、反例を挙げることで証明します。
   
  ②対偶を使った証明
   命題が真であれば、対偶も真になることを利用します。
   $A$から$B$への証明が難しい場合、$B$から$A$を証明した方が簡単な場合に使います。
   「複雑な方程式$A$が成り立つとき単純な条件$B$が成り立つ」という証明に有効です。
  ③背理法を使った証明
   命題が成り立たないと仮定し、その矛盾を突くことで命題が成り立つことを証明する方法です。
   無理数の証明、$n$の倍数であることの証明、最大値がない証明などによく使われます。
   無理数での証明では、有理数$\cfrac{a}{b}$と仮定することが多いです。
   $3$の倍数であることの証明では、$3$の倍数でない$n=3k\pm1$とと仮定することが多いです。
   最大値がない証明では、最大値$a$があると仮定することが多いです。

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