06-02xとyが二次関数の最小値(難易度3)

以下の二次関数の最小値を求めよ。
$P=x^2-4xy+5y^2-2x-4y+4$

$x$,$y$のそれぞれを$(x-p)^2$、$(y-q)^2$の形に順番に変形する

$P=x^2-4xy+5y^2-2x-4y+4$
 $=x^2-(4y+2)x+5y^2-4y+4$
 $=\{x-(2y+1)\}^2-(2y+1)^2+5y^2-4y+4$
 $=\{x-(2y+1)\}^2-(4y^2+4y+1)+5y^2-4y+4$
 $=(x-2y-1)^2+y^2-8y+3$
 $=(x-2y-1)^2+(y^2-4)^2-16+3$
 $=(x-2y-1)^2+(y^2-4)^2-13$
 
ここで、$(x-2y-1)^2 \geqq 0$、 $(y^2-4)^2 \geqq 0$のため$P \geqq -13$となる
つまり、最小値は$-13$

二次関数の頂点が最小値になることを利用して変形を考えます。
まず、$y$を定数と思い、$x$について$(x-p)^2+q$の形に変形します。
$P=\color{red}{x^2-4xy}+5y^2\color{red}{-2x}-4y+4$
 $=\color{red}{x^2-(4y+2)x}+5y^2-4y+4$
 $=\color{red}{\{x-(2y+1)\}^2-(2y+1)^2}+5y^2-4y+4$
 $=\color{red}{\{x-(2y+1)\}^2-(4y^2+4y+1)}+5y^2-4y+4$
 $=(x-2y-1)^2+y^2-8y+3$

次に、$x$を定数と思い、$y$について$(x-p)^2+q$の形に変形します。
$P=(x-2y-1)^2+\color{red}{y^2-8y}+3$
 $=(x-2y-1)^2+\color{red}{(y^2-4)^2-16}+3$
 $=(x-2y-1)^2+(y^2-4)^2-13$
あとは、$x$、$y$それぞれの頂点の部分が最小値になるので、説明を記載して回答となります。

逆に$y$について変形した後、$x$について変形しても同じになります。
$P=x^2-4xy+5y^2-2x-4y+4$
 $=5y^2-(4x+4)y+x^2-2x+4$
 $=5\{y-\cfrac{2}{5}(x+1)\}^2-\cfrac{4}{5}(x+1)^2+x^2-2x+4$
 $=5(y-\cfrac{2}{5}x-\cfrac{2}{5})^2-\cfrac{4}{5}(x^2+2x+1)+x^2-2x+4$
 $=5(y-\cfrac{2}{5}x-\cfrac{2}{5})^2+\cfrac{1}{5}x^2-\cfrac{18}{5}x+\cfrac{16}{5}$
 $=5(y-\cfrac{2}{5}x-\cfrac{2}{5})^2+\cfrac{1}{5}(x-9)^2-\cfrac{81}{5}+\cfrac{16}{5}$
 $=5(y-\cfrac{2}{5}x-\cfrac{2}{5})^2+\cfrac{1}{5}(x-9)^2-13$

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