08-03対称式(三項)をつかった計算

$x+y+z=1 \qquad xy+yz+zx=-\cfrac{3}{2} \qquad \cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}+\cfrac{1}{z}=1$とするとき、以下の式の値を求めよ
(1)$x^2+y^2+z^2$  (2)$\cfrac{1}{x^2}+\cfrac{1}{y^2}+\cfrac{1}{z^2}$


(1)対称式であることを利用する
(2)式を変形して、基本対称式$xyz$の値を求める

(1)$x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=1^2-2\cdot -\left( \cfrac{3}{2} \right)=4$
(2)$\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}+\cfrac{1}{z}=\cfrac{yz+zx+xy}{xyz}=1$
 つまり $xyz=xy+yz+zx=1 \qquad \cdots$ ①
 $\cfrac{1}{x^2}+\cfrac{1}{y^2}+\cfrac{1}{z^2}
=\left( \cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}+\cfrac{1}{z} \right)^2-2\left(\cfrac{1}{xy}+\cfrac{1}{yz}+\cfrac{1}{zx} \right)
=\left(\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}+\cfrac{1}{z} \right)^2-2\left( \cfrac{x+y+z}{xyz} \right)$
①より、$\cfrac{1}{x^2}+\cfrac{1}{y^2}+\cfrac{1}{z^2}=1^2-2 \cdot 1 /\left( -\cfrac{3}{2} \right)=1+\cfrac{4}{3}=\cfrac{7}{3}$

与式の$x$と$y$と$z$を入れ替えても同じ式になるので、対称式であることを利用します。
(1)の式は、二次の展開式$(a+b+c)^2=a^2+b^2+b^2+2ab+2bc+2ca$を利用して基本対称式にします。
(2)は、基本対称式の$x+y+z=1$と$xy+yz+zx$の値が分かっているが、
残りの$xzy$の値が不明のため、求める必要があると考えることができたら、あとは変形のみです。
問題中、$\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}+\cfrac{1}{z}=1$の式を使っていないので、変形するとうまく求めることができます。

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