08-02対称式(二項)をつかった計算(難易度2)

$x+\cfrac{1}{x}=\sqrt{6}$とするとき、以下の式の値を求めよ
(1)$x^2+\cfrac{1}{x^2}$  (2)$x^3+\cfrac{1}{x^3}$  (3)$x^5+\cfrac{1}{x^5}$


(1)(2)(3)対称式であることを利用する

(1)$x^2+\cfrac{1}{x^2}=(x+\cfrac{1}{x})^2-2x \cdot \cfrac{1}{x}=(\sqrt{6})^2-2=4$
(2)$x^3+\cfrac{1}{x^3}=(x+\cfrac{1}{x})^3-3x \cdot \cfrac{1}{x} \cdot (1+\cfrac{1}{x})
=(\sqrt{6})^3-3 \cdot 1 \cdot\sqrt{6} =3\sqrt{6}$

(3)$x^5+\cfrac{1}{x^5}=(x^3+\cfrac{1}{x^3})(x^2+\cfrac{1}{x^2})-(x+\cfrac{1}{x})
=3\sqrt{6} \cdot 4 -\sqrt{6}=11\sqrt{6}$


与式の$x$と$\cfrac{1}{x}$を入れ替えても同じ式になるので、対称式であることを利用します。
$x \cdot \cfrac{1}{x}=1$となり、変数が消えて気づきにくくなっていますが、
対称式は、基本対称式$x+\cfrac{1}{x}$と$(x \cdot \cfrac{1}{x}=1)$で表すことができるので、うまく変形しましょう。
(1)(2)の式は、二次の展開式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$、三次の展開式$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$を変形して基本対称式にします。
(3)の高次式はよく出てくる形で、$(a^4+b^4)(a+b)$のような形で変形させます。
この問題では、3乗と2乗の数値がわかっているため、$3$乗$\times2$乗の$(x^3+\cfrac{1}{x^3})(x^2+\cfrac{1}{x^2})$に変形します。

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