07-01平方根をはずす(難易度2)

$a$を定数とするとき、以下の式を$y$を$a$を使った簡単な式にせよ
$y=\sqrt{(a-1)^2}-\sqrt{(a-4)^2}$

①ルートをはずすとき、正と負を考えて場合を分ける。

$y=\sqrt{(a-1)^2}-\sqrt{(a-4)^2}=|a-1|-|a-4|$
\begin{eqnarray*}
|a-1|= \left \{
\begin{array}{l}
a-1&(a\geqq 1 \text{のとき})\\
-(a-1)&(a< 1 \text{のとき}) \end{array} \right. \\ |a-4|= \left \{ \begin{array}{l} a-4&(a\geqq 4 \text{のとき})\\ -(a-4)&(a< 4 \text{のとき}) \end{array} \right. \end{eqnarray*} となるため \begin{array}{rl} a<1\text{のとき}&y=|a-1|-|a-4|=-(a-1)-(a-4)=-3 \\ 1 \geqq a<4\text{のとき}&y=|a-1|-|a-4|=(a-1)+(a-4)=2a-5\\ 4 \geqq a\text{のとき}&y=|a-1|-|a-4|=(a-1)-(a-4)=3\\ \end{array} つまり、$a<1$のとき$y=-3$、$1\geqq a<4$のとき$y=2a-5$、$4\geqq a$のとき$y=3$

①絶対値の中を計算し、正になるか負になるか注目します。
 $|3|$の中は正なので$3$、$|-1|$の中は負なので$(-1)\times(-1)=1$となります。
②$|-7|$の中は負なので$(-7)\times(-1)=7$、$|3|$の中は正ななので$3$となります。

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