05-01分母を有理化する(難易度1)

以下の分母を有理化せよ
①$\cfrac{1}{2\sqrt{2}}$ ②$\cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ ③$\cfrac{\sqrt{1}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

①$\sqrt{a^2}=|a|$を利用する。
②③$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b$を利用する。

①$\cfrac{1}{2\sqrt{2}}=\cfrac{1}{2\sqrt{2}}\cdot \color{red}{\cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}
=\cfrac{\sqrt{2}}{2\cdot2}=\cfrac{\sqrt{2}}{4}$
②$\cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}
=\cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\cdot\color{red}{\cfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}}
=\cfrac{2-\sqrt{6}}{2-3}=\sqrt{6}-2$

③$\cfrac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}
=\cfrac{1}{(1+\sqrt{2})+\sqrt{3}}\cdot \color{red}{\cfrac{(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}}{(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}}}
=\cfrac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(1+\sqrt{2})^2-3}
=\cfrac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{1+2\sqrt{2})+2-3}$

$=\cfrac{1+\sqrt{2})-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}
=\cfrac{1+\sqrt{2})-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\cdot \color{green}{\cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}
=\cfrac{2+\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$


①分母の$\sqrt{2}$を有利化するために、分母と分子に$\sqrt{2}$をかけます。
 あとは、計算を進めていくだけです。
②分母の$\sqrt{2}+\sqrt{3}$を有利化するため、分母と分子に$\sqrt{2}-\sqrt{3}$をかけます。
 $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b$となるため、根号を消すことができます。
③一度に$\sqrt{2}$と$\sqrt{3}$を消すことができないので、片方ずつ消していきます。
 $(1+\sqrt{2})$と$(\sqrt{3})$と考えて、分母と分子に$(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}$をかけます。
 計算は大変ですが、$\cfrac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$となり、$\sqrt{3}$を消すことができます。
 次に、$\sqrt{2}$を消すために、分母と分子に$\sqrt{2}$をかけます。
 あとは、計算を進めていくだけです。

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